Золотое сечение и число Эйлера

 

Эвклиду (325-270 до н.э.) приписывается открытие соотношения отрезков, называемого Золотым сечением. Под Золотым сечением подразумевается такое деление целого a на две части, что соотношение целого к большей части b то же, что и соотношение большей части b к меньшей части c. Таким образом получается следующее квадратное уравнение:

a/b = b/c    =>    ac = b2    =>    b2 - bc - c2 = 0.

Стандартное решение:

b1,2 = c/2 [(c/2)2 + c2]1/2.

Рассмотрим только положительное решение:

b = c(1 + 51/2)/2.

Отсюда получаем число Золотого сечения:

Phi = 1.618...

Существуют и другие геометрические методы получения Золотого сечения, но так как для нашего исследования они не важны, приведу в пример лишь один. Если провести в равностороннем пятиугольнике (пентагон) все диагонали, то они рассекают друг друга в пропорции Золотого сечения, при этом образуется пятиконечная звезда (пентаграмма).

Нас будет особо интериссовать последовальность Фибоначи (тот самый Фибоначи, 1170-1240, который завез в Европу арабские цифры). Каждый член этой последовательности получается путем сложения двух предыдущих членов:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610...

Или

an = an-1 + an-2, a1 = 0, a2 = 1.

Особенность этой последовательности заключается в том, что последовательность ее частных конвенгирует к числу Золотого сечения:

lim(an/an-1) => 1.618..., n -> oo.

На самом деле приходиться еще большему удивляться. Даже если первые два члена будут любыми числами, все равно последовальность частных будет стремиться к числу Золотого сечения.

Пример.

a1 = 11.4, a2 = -24.9

11.4, -24.9, -13.5, -38.4, -51.9, -90.3, -142.2, -232.5, -374.7...,

-374.7/-232.5 = 1.611..., -232.5/-142.2 = 1.635...

Таким образом можно только удивляться выживаемости последовательности Фибоначи. Возможно, что существует какой-то закон или правило, которые бы могли бъяснить такое поведение.

Да, само собой подозрительно, что последовательность ее частных конвергирует к числу Золотого сечения. Но оно само имеет скорее мистический характер. Оно считается эстетически идеальной пропорцией, Божественным делением, общим природным законом. Человеческое тело построено в пропорциях Золотого сечения, также и более низшие живые организмы и доже растения показывают те же пропорции... И все это не находит обоснования посредством реальных физических законов!

Меня же насторожил тот факт, что эта пропорция наблюдается у живых организмов и в первую очередь у Венца творения. Таким образом наблюдаемый феномен может быть связан с процессом роста. С другой стороны само по себе деление является процессом распада. И в математики существует число, с помощью которого эти два противоположных процесса успешно описываются - число Эйлера:

e = 2.718...

Оно носит имя его автора, Леонарда Эйлера (1707-1783), профессора Санкт-Петербурского Университета. Существует несколько формул, позволяющих вычислить это число, две наиболее известные:

e = lim(1 + 1/n)n, n -> oo,

e = Sum(1/n!), n = 0...oo.

Несмотря на то, что ни эти ни другие представления числа Эйлера не схожи с частной последовательностью последовательности Фибоначи, это не важно, потому что родство проявляется на другом уровне (на самом деле сущестует прямая математическая связь через гиперболические функции, но нас будет интересовать только физическая основа).

Для описания процессов роста и падения используется экспотенциальная функция:

f(x) = f0ex.

Таким образом описывается такой механизм, когда множество растет или уменьшается пропорционально числу его элементов. В точности тот же механизм можно распознать и в Божественном делении. В древности люди думали только о соотношениях целого к большей части и большей части к меньшей. Соотношение же целого к меньшей части интересовало их мало. Но как раз это соотношение указывает на сколько целое уменьшилось. И как уже можно догадаться оно соответствует числу Эйлера:

a/b = b/c    =>    ac = b2    =>    a/c = b2/c2 = Phi2 = 2.618...

Это число всего на 3.7% меньше числа Эйлера. С точки зрения физики это отклонение весьма мало. Все реальные процессы никогда не протекают точно по формулам. Точность в 5-10% можно считать весьма хорошей. Также если Золотое сечение рассматривать как природный закон, то измерения например собственного тела дают расхождение от 1.45 до 1.77, т.е. примерно 10%.

Таким образом можно считать, что Золотое сечение являлось первым определением число Эйлера, но не как точного математического числа, а как физической константы, которая на самом деле находится во многих природных законах. И даже проявляется больше - последовательность Фибоначи является представлением в виде последовательности экспотенциальной функции.

Каждый член последовательности является суммой двух предыдущих:

an = an-1 + an-2.

К числу an-1 прибавляется число an-2. Но число an-2 уже является частью числа an-1:

an-1 = an-2 + an-3.

То есть речь идет о том же механизме роста, который описывается экспотенциальной функцией. Для последовательности Фибоначи она имеет вид:

f(n) = f0e n/2.

Это объясняет и выживаемость последовательности Фибоначи. Последовательность ее частных является лишь корнем из числа Эйлера. Для сравнения приведу следующую таблицу:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
en/2 1 1.65 2.72 4.48 7.39 12.18 20.1 33.1 54.6 90 148 244 403 665 1096 1808
F.-Reihe ...1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597

Правда растет экспотенциальная функция быстрее, но на то и число Эйлера больше, чем квадрат Золотого сечения. Кроме того при необходимости можно с помощью f0 для любой области провести подстройку.

Еще одно подтверждение идеи дают спиральные структуры, от ракушек до спиральных галактик. Если из центра спирали провести наружу прямую линию, то лучи спирали будут ее рассекать в пропорциях, близких к Золотому сечению. С другой стороны натуральные спирали можно описать с помощью логарифмической спирали (а - угол):

r = r0eka

Для k = 1/4pi мы получим спираль с тем же свойством.

Резюме

Было замечено, что Золотое сечение часто находит свою реализацию в природе. Так как причина для этого была не понятна, Золотое сечение получило мистическую сторону ... Сейчас же мы можем утверждать, что механизм деления целого на две, большую и меньшую, части точно соответствует механизму роста или уменьшения в природе. Современная наука описывает эти процессы с помощью числа Эйлера. При этом речь идет не только о биологических процессах, а все начинается уже на атомарном уровне и продолжается до общественных феноменах - распад атомного ядра, теннельный эффект, затухающие колебания, разрядка или зарядка конденсатора, токи в полупроводниках, взрывные химические процессы, рост популяций бактерий, также животных, также и человечества в целом, финансы, статистика и т.д. С другой стороны было бы логично утверждать, что процесс роста влияет на конечный результат, его форму пропорции и т.д. И этот конечный результат есть то, что видно невооруженным глазом. Как следствие уже в древности заметили люди пропорцию, которая имеет корни в микромире - Золотое сечение:

Phi = ~e1/2.

 

06.2004 - 08.2004
Walter Orlov

Hosted by uCoz