Золотое сечение и число Эйлера

Эвклиду (325-270 до н.э.) приписывается открытие соотношения отрезков, называемого Золотым сечением. Под Золотым сечением подразумевается такое деление целого a на две части, что соотношение целого к большей части b то же, что и соотношение большей части b к меньшей части c. Таким образом получается следующее квадратное уравнение:

Стандартное решение:

Рассмотрим только положительное решение и получаем число Золотого сечения:

Существуют и другие геометрические методы получения Золотого сечения, но для нашего исследования они не важны. Нас  особо будет интерессовать последовальность Фибоначи (тот самый Фибоначи, 1170-1240, который завез в Европу арабские цифры). Каждый член этой последовательности получается путем сложения двух предыдущих членов:

Особенность этой последовательности заключается в том, что последовательность ее частных конвенгирует к числу Золотого сечения:

На самом деле приходиться еще большему удивляться. Даже если первые два члена будут любыми числами, все равно последовальность частных будет стремиться к числу Золотого сечения.

Пример:

Таким образом можно только удивляться выживаемости последовательности Фибоначи. Возможно, что существует какой-то закон или правило, которые бы могли бъяснить такое поведение. Да, само собой подозрительно, что последовательность ее частных конвергирует к числу Золотого сечения. Но само Золотое сечение имеет скорее мистический характер. Оно считается эстетически идеальной пропорцией, Божественным делением, общим природным законом. Человеческое тело построено в пропорциях Золотого сечения, также и более низшие живые организмы и доже растения показывают те же пропорции... И все это не находит обоснования посредством реальных физических законов!

Меня же насторожил тот факт, что эта пропорция наблюдается у живых организмов и в первую очередь у Венца творения. Таким образом наблюдаемый феномен может быть связан с процессом роста. С другой стороны само по себе деление является процессом распада. И в математики существует число, с помощью которого эти два противоположных процесса успешно описываются - число Эйлера:

Оно носит имя его автора, Леонарда Эйлера (1707-1783), профессора Санкт-Петербурского Университета. Существует несколько формул, позволяющих вычислить это число, две наиболее известные:

Несмотря на то, что ни эти ни другие представления числа Эйлера не схожи с частной последовательностью последовательности Фибоначи, это не важно, потому что родство проявляется на другом уровне (на самом деле сущестует прямая математическая связь через гиперболические функции, но нас будет интересовать только физический смысл).

Для описания процессов роста и падения используется экспотенциальная функция:

Таким образом описывается такой механизм, когда множество растет или уменьшается пропорционально числу его элементов. В точности тот же механизм можно распознать и в Божественном делении. В древности люди думали только о соотношениях целого к большей части и большей части к меньшей. Соотношение же целого к меньшей части почему-то их не интересовало. Но как раз это соотношение указывает на сколько уменьшилось целое. И как уже можно догадаться оно соответствует числу Эйлера:

Это число всего на 3.7% меньше числа Эйлера. С точки зрения физики это отклонение весьма мало. Все реальные процессы никогда не протекают точно по формулам. Точность в ±5-10% можно считать весьма хорошей. Также если Золотое сечение рассматривать как природный закон, то измерения например собственного тела дают расхождение от 1.45 до 1.77, т.е. примерно ±10%.

Таким образом можно считать, что Золотое сечение являлось первым определением число Эйлера, но не как точного математического числа, а как физической константы, которая заложенна во многих природных законах. И даже проявляется больше - последовательность Фибоначи является представлением экспотенциальной функции в виде последовательности.

Каждый член последовательности является суммой двух предыдущих:

К числу a_n-1 прибавляется число a_n-2. Но число a_n-2 уже является частью числа a_n-1:

То есть речь идет о том же механизме роста, который описывается экспотенциальной функцией. Для последовательности Фибоначи она имеет вид:

Это-то и объясняет выживаемость последовательности Фибоначи. Последовательность ее частных является корнем из числа Эйлера. Для сравнения приведу следующую таблицу:

Правда растет экспотенциальная функция быстрее, но на то и число Эйлера больше, чем квадрат Золотого сечения. Кроме того при необходимости можно с помощью f₀ для любой области провести подстройку.

Еще одно подтверждение идеи дают спиральные структуры, от ракушек до спиральных галактик. Если из центра спирали провести наружу прямую линию, то лучи спирали будут ее рассекать в пропорциях, близких к Золотому сечению. С другой стороны натуральные спирали можно описать с помощью логарифмической спирали:

Для  мы получим спираль с тем же свойством.

Резюме

Издавна людьми было замечено, что Золотое сечение часто находит свою реализацию в природе. Так как причина для этого была не понятна, Золотое сечение получило свою мистическую сторону... Сейчас же мы можем утверждать, что механизм деления целого на две, большую и меньшую, части точно соответствует механизму роста или деградации в природе. Современная наука описывает эти процессы с помощью числа Эйлера. При этом речь идет не только о биологических процессах, а все начинается уже на атомарном уровне и продолжается до общественных процессов - распад атомного ядра, теннельный эффект, затухающие колебания, разрядка или зарядка конденсатора, токи в полупроводниках, взрывные химические процессы, рост популяций бактерий, животных, также и человечества в целом, финансы, статистика и т.д. С другой стороны было бы логично утверждать, что процесс роста влияет на конечный результат, его форму пропорции и т.д. И этот конечный результат есть то, что видно невооруженным глазом. Как следствие уже в древности люди заметили пропорцию, которая имеет корни в микромире - Золотое сечение:

 
Walter Orlov, лето 2004